Question

【題目】Sn為數列{an}的前n項和，已知Sn+1=λSn+1（λ是大于0的常數），且a1=1，a3=4．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=nan ， 求數列{bn}的前n項和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由Sn+1=λSn+1可知 當n≥2時，Sn=λSn﹣1+1． 作差可得an+1=λan ， 即n≥2時 ．
又a1=1，故a2=λa1 ．
∴數列{an}是等比數列．
由于a3=a1λ2=4，λ＞0，解得λ=2．
數{an}的通項公式為： ；
（Ⅱ）由 ，可知 ．
設數列{bn}前n項和為Tn ，
則 ，①
，②
① ﹣②得： = =2n﹣1﹣n2n ．
∴ ．
【解析】（Ⅰ）由已知數列遞推式可得當n≥2時，Sn=λSn﹣1+1．與原遞推式作差可得an+1=λan ， 即n≥2時 ．驗證a2=λa1 ， 可得數列{an}是等比數列．結合已知求得λ值，則數列{an}的通項公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項公式代入bn=nan ， 整理后利用錯位相減法求數列{bn}的前n項和．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．