Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（2）設(shè)，證明：…+．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時，2a₁=1+a₁，∴a₁=1
當(dāng)n≥2時，2S_n=n+na_n，2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1，相減得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1，∴2a_n+1=1+（n+1）a_n+1-na_n，相減得（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1=2（n-1）a_n，即當(dāng)n≥2時，a_n+1+a_n-1=2a_n
又S₂=3，a₁=1，∴a₂=2，∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴a_n=n
∴T_n=1+2•2+3•2²++n•2^n-1，2T_n=2+2•2²++n•2ⁿ，相減整理得T_n=（n-1）•2ⁿ+1
（2）b_n=2ⁿ+1，∴，∴．

∴．
∴…+．
分析：（1）當(dāng)n≥2時，2S_n=n+na_n，2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1，兩式相減得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1，再寫一式，相減整理可得a_n+1+a_n-1=2a_n，從而數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求數(shù)列的通項(xiàng)．
（2）先確定，再求和即可證明．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和共存時處理的方法，考查錯位相減法求數(shù)列的和，同時考查了放縮法證明不等式，有一定的難度．