Question

（2009•寧波模擬）若直線l與拋物線c：y²=2px（p＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，F(

p

2

，0)是拋物線c的焦點(diǎn)，則“弦長(zhǎng)|AB|=x₁+x₂+p”是“直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F”的（　�。�

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：先利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可以證得，“弦長(zhǎng)|AB|=x₁+x₂+p”是“直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F”的必要條件；再利用反證法證明：“弦長(zhǎng)|AB|=x₁+x₂+p”是“直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F”的充分條件

解答：解：若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，則根據(jù)拋物線的定義可得：|AB|=|AF|+|BF|=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p，
∴“弦長(zhǎng)|AB|=x₁+x₂+p”是“直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F”的必要條件
若弦長(zhǎng)|AB|=x₁+x₂+p，假設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，連接AF，BF，則|AF|+|BF|=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=|AB|，
這與直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F矛盾，所以直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F
∴“弦長(zhǎng)|AB|=x₁+x₂+p”是“直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F”的充分條件
所以，“弦長(zhǎng)|AB|=x₁+x₂+p”是“直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F”的充要條件
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查四種條件的判斷，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離