Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），f（x）=2

a

•

b

+|

a

|
（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）若在[0，π]上f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積、模的計(jì)算公式、三角函數(shù)的兩角和差、倍角、平方關(guān)系等有關(guān)公式即可得出；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出．

解答：解：（1）f（x）=2

a

•

b

+|

a

|=2sinxcosx-2cos²x+

sin2x+cos2x

=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ解得kπ+

3π

8

≤x≤k+

7π

8

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]（k∈Z）．
（3）由x∈[0，π]，得(2x-

π

4

)∈[-

π

4

，

7π

4

]，∴sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，∴f(x)∈[-1，

2

]，
如圖所示：
要使f（x）=m在[0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則m取值范圍是(-

2

，-1)∪(-1，

2

)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的數(shù)量積、模的計(jì)算公式、三角函數(shù)的兩角和差、倍角、平方關(guān)系等有關(guān)公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．