Question

函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x³-3ax（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

解：（1）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，所以f（-x）=-x³+3ax，
又因?yàn)閒（x） 是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
故f（x）=-x³+3ax，x∈[0，1]；
（2）x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x³+3ax，f′（x）=-3x²+3a=-3（x²-a），
ⅰ）當(dāng)a≤0 時(shí)，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減．
f_max（x）=f（0）=0；
ⅱ）當(dāng) a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=，
①當(dāng)a≥1 時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增．
f_max（x）=f（1）=-1+3a；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）=-3（x+）（x-），
當(dāng)0≤x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在遞增，當(dāng)＜x≤1時(shí)，f′（x）遞減，
所以f_max（x）=f（）=2a．
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f_max（x）=0；當(dāng)a≥1時(shí)，f_max（x）=-1+3a；當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，f_max（x）=2a．
分析：（1）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，利用已知表達(dá)式即可求得f（-x），由偶函數(shù)性質(zhì)可得f（-x）=f（x），從而可求f（x）；
（2）x∈[0，1]時(shí)，f′（x）=-3x²+3a=-3（x²-a），按a范圍分類(lèi)討論f（x）在[0，1]的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得最值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查偶函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)最值及函數(shù)解析式的求法，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．