Question

設(shè)定義在D上的兩個(gè)函數(shù)f（x）、g（x），其值域依次是[a，b]和[c，d]，有下列4個(gè)命題：
①若a＞d，則對(duì)任意x₁、x₂∈D，f（x₁）＞g（x₂）恒成立；②若存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，則必有a＞d；③若對(duì)任意x∈D，f（x）＞g（x）恒成立，則必有a＞d；④若a＞d，則對(duì)任意x∈D，f（x）＞g（x）恒成立．其中正確的命題是

 

（請(qǐng)寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：①若a＞d，則對(duì)任意x₁、x₂∈D，則有f（x）的函數(shù)值都比g（x）的函數(shù)值大，②存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，舉反例，例如：[a，b]=[1，4]，[c，d]=[2，5]，③舉反例f（x）=x，g（x）=sinx，D=[

π

4

，

π

3

]④同①，

解答：解：①若a＞d，則對(duì)任意x₁、x₂∈D，則有f（x）的函數(shù)值都比g（x）的函數(shù)值大，即f（x₁）＞g（x₂）恒成立，①正確
②存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，例如：[a，b]=[1，4]，[c，d]=[2，5]，且f（x₁）=3，g（x₂）=2，此時(shí)a＜d．②錯(cuò)誤
③f（x）=x，g（x）=sinx，D=[

π

4

，

π

3

]此時(shí)f（x）＞g（x）恒成立，但[a，b]=[

π

4

，

π

3

]，[c，d]=[

2

2

，

3

2

]
而a=

π

4

＜

3

2

=d，③錯(cuò)誤
④同①，故④正確
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的定義域與值域的判定，要求考生熟練掌握常見(jiàn)的基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并能進(jìn)行一定的推理、論證．