Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+b

x

（b為常數(shù)）．
（Ⅰ）當f（1）=f（4），函數(shù)F（x）=f（x）-k有且僅有一個零點x₀且x₀＞0時，求k的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，4）上為單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)F（x）=f（x）-k有且僅有一個零點x₀且x₀＞0時，建立條件即可求k的值；
（Ⅱ）利用函數(shù)為單調(diào)函數(shù)的條件即可求b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=f（4），
∴1+b=4+

b

4

，得b=4，…（3分）
∴f(x)=x+

4

x

∵函數(shù)F（x）=f（x）-k有且僅有一個零點x₀，且x₀＞0．
∴由圖象可知，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=k有且只有一個交點，
且交點的橫坐標為x₀=2．
∴k=4．
（Ⅱ）若b＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，滿足題意；
若b=0，則f（x）=x，（x≠0），也滿足題意；
若b＞0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(0，

b

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

b

，+∞)上單調(diào)遞增，
則要滿足函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，4）上為單調(diào)函數(shù)，則

b

≤1或

b

≥4，
得0＜b≤1或b≥16．
∴綜上所述，得，b的取值范圍是b≤1或b≥16．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．