Question

已知函數f(x)=

lnx

x

+

1

x

（Ⅰ）若函數在區(qū)間（m，m+

1

3

）（其中m＞0）上存在極值，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥1時，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數f(x)=

lnx

x

+

1

x

的極值，在探討函數在區(qū)間 （m，m+

1

3

）（其中a＞0）上存在極值，尋找關于m的不等式，求出實數m的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥1時，不等式 f(x)≥

k

x+1

恒成立，求出f（x）在x≥1時的最小值，把k分離出來，轉化為求k的范圍．
（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的結論根據疊加法證明不等式．

解答：解：（Ⅰ）因為函數f(x)=

lnx

x

+

1

x

所以f′（x）=-

lnx

x2

．極值點為f′（x）=0解得x=1
故m＜1＜m+

1

3

，解得

2

3

＜m＜1．
即答案為

2

3

＜m＜1．
（Ⅱ）如果當x≥1時，f′（x）=-

lnx

x2

≤0故f（x）遞堿．
故f（x）≥f（1）=1
又不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，
所以

k

x+1

≤1恒成立，所以k≤2
證明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，
即 lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

令x=n（n+1），則ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

所以 ln(1×2)＞1-

2

1×2

，
 ln(2×3)＞1-

2

2×3

，
ln(3×4)＞1-

2

3×4

，
…
 ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

．
疊加得：ln[1×2²×3²×…n²×（n+1）]×

1

n(n+1)

]
=n-2(1-

1

n+1

)＞n-2+

1

n+1

＞n-2
則1×2²×3²×…n²×（n+1）＞e^n-2，
所以：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

點評：此題主要考查應用導數研究函數的極值最值問題，有關恒成立的問題一般采取分離參數，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法，證明數列不等式，借助函數的單調性或恒成立問題加以證明．屬難題．