Question

把一幅三角板如圖（1）所示進行拼接，設(shè)BC=6，∠A=90°，AB=AC，∠BCD=90°，　　　　 ∠D=60°，再把三角板BCD沿BC折起，使兩塊三角板所在平面互相垂直.

（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；

（2）求二面角A—BD—C的正切值；

（3）求直線AD和BC所成角的余弦值.

（1）　　　　　　    （2）　　　　　　  （3）

 

Answer 1

答案：
解析：

解：本題為折疊問題，要注意對比折疊前后一些線的位置關(guān)系的變化. （1）∵平面ABC⊥平面BCD，交線為BC，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC. ∵AB面ABC，∴DC⊥AB. ∵AB⊥AC，AB⊥DC，AC與DC相交，∴AB⊥面ACD. ∵AB面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD. （2）作AE⊥BC于E，則AE⊥平面BCD，故AE⊥BD；作EF⊥BD于F，連結(jié)EF，如圖（2）所示，∵EF⊥BD，AE⊥BD，∴BD⊥面AEF，故BD⊥AF. ∴∠AFE就是二面角A—BD—C的平面角. 在等腰Rt△ABC中，可得AE=BE=3；在Rt△BEF中，可得EF=1.5， ∴在Rt△AEF中，tanAFE=AE∶EF=2, 即二面角A—BD—C的正切值為2. （3）作AE⊥BC于E，則AE⊥平面BCD，作DG∥BC，則直線AD和BC所成角就等于直線AD和DG所成的角；作EG⊥DG垂足為G，則四邊形CDGE為矩形，如圖（3）所示. ∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥DG. ∵EG⊥DG，∴DG⊥面AEG. ∴DG⊥AG. 在Rt△ADG中，∠ADG就等于直線AD和BC所成角，可解得DG=3，AD=， ∴cosADG=DG∶AD=.