Question

已知函數(shù)f（x）=sin（π-x）sin（

π

2

-x）+cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為函數(shù)f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，由此可得函數(shù)的周期．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間；令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（π-x）sin（

π

2

-x）+cos²x=sinxcosx+

1+cos2x

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
故函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．