【題目】如圖甲，在直角梯形中，，，，過作，垂足為，現(xiàn)將沿折疊，使得．取的中點(diǎn)，連接，，，如圖乙．

甲 乙

(1)求證：平面；

(2)求二面角的余弦值

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）要證平面，即證垂直于平面兩條交線，設(shè)法證明，即可

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，表示出，，，，，

求出的法向量和平面的法向量，再用二面角的余弦公式求值即可

（1）∵，，∴平面，又∵平面，∴，

又∵，，∴平面．

甲

乙

（2）如圖乙，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，，所以有，

∴取，得平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

由，，所以有

∴取，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，

則．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.

（1）求直線與平面所成角的正弦值.

（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是一幢6層的寫字樓，每層高均為3m，在正前方36m處有一建筑物，從樓頂處測(cè)得建筑物的張角為.

（1）求建筑物的高度；

（2）一攝影愛好者欲在寫字樓的某層拍攝建筑物.已知從攝影位置看景物所成張角最大時(shí)，拍攝效果最佳.問：該攝影愛好者在第幾層拍攝可取得最佳效果（不計(jì)人的高度）？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某測(cè)試團(tuán)隊(duì)為了研究“飲酒”對(duì)“駕車安全”的影響，隨機(jī)選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行“停車距離”測(cè)試．測(cè)試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”（駕駛員從看到意外情況到車子完全停下所需要的距離）．無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列于表1和表2.

表1

停車距離（米）

頻數(shù)

26

8

2

表2

平均每毫升血液酒精含量毫克

10

30

50

70

90

平均停車距離米

30

50

60

70

90

已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為26，回答以下問題.

（Ⅰ）求的值，并估計(jì)駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算關(guān)于的回歸方程；

（Ⅲ）該測(cè)試團(tuán)隊(duì)認(rèn)為：駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”大于（Ⅰ）中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍，則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”．請(qǐng)根據(jù)（Ⅱ）中的回歸方程，預(yù)測(cè)當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時(shí)為“醉駕”？

（附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐的展開圖如圖二，其中四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（1）證明：平面平面；

（2）若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為.若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且，則稱該三角形為“向心三角形”.

（1）是否存在“向心三角形”，其中兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和？說明理由；

（2）設(shè)“向心三角形”的一邊所在直線的斜率為，求直線的方程；

（3）已知三角形是“向心三角形”，證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，是棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若是棱的中點(diǎn)，求三棱錐的體積與三棱柱的體積之比.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】銷售甲種商品所得利潤是萬元，它與投入資金萬元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式；銷售乙種商品所得利潤是萬元，它與投入資金萬元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式，其中，為常數(shù)．現(xiàn)將3萬元資金全部投入甲、乙兩種商品的銷售；若全部投入甲種商品，所得利潤為萬元；若全部投入乙種商品，所得利潤為1萬元，若將3萬元資金中的萬元投入甲種商品的銷售，余下的投入乙種商品的銷售，則所得利潤總和為萬元．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）怎樣將3萬元資金分配給甲、乙兩種商品，才能使所得利潤總和最大，并求最大值．

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