設(shè)A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:先由題設(shè)條件求出集合A,再由A∩B=B,導(dǎo)出集合B的可能結(jié)果,然后結(jié)合根的判別式確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:A={x|x2+4x=0}={0,-4},
由A∩B=B知,B⊆A,故B={0}或B={-4}或B={0,-4}或B=∅(2分)
若B={0}或B={-4}時(shí),x2+2(a+1)x+a2-1=0僅有一根,必有△=[2(a+1)]2-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1(4分)
由于a=-1,x2+2(a+1)x+a2-1=0即為x2=0,此方程的根是x=0,故當(dāng)B={0}時(shí)存在a=-1符合條件,B={-4}不符合題意
若B={0,-4}時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系得0-4=-2(a+1)解得a=1,(8分)
當(dāng)B=∅時(shí),△=[2(a+1)]2-4(a2-1)=8a+8<0,得a<-1,(11分)
綜上:a=1,a≤-1.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查集合的包含關(guān)系的判斷和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意公式的合理應(yīng)用.
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