Question

設(shè)f（x）=為奇函數(shù)，a為常數(shù)，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（Ⅲ）若對于[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇函數(shù)的定義找關(guān)系求解出字母的值，注意對多解的取舍．
（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，關(guān)鍵要在自變量大小的前提下推導(dǎo)出函數(shù)值的大小．
（3）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，用到了分離變量的思想．
解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
∴．
檢驗a=1（舍），∴a=-1．
（2）由（1）知
證明：任取1＜x₂＜x₁，∴x₁-1＞x₂-1＞0
∴
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）對[3，4]于上的每一個x的值，不等式恒成立，即恒成立．
令．只需g（x）_min＞m，
又易知在[3，4]上是增函數(shù)，
∴．
∴時原式恒成立．
點評：本題是以對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)基本性質(zhì)的小綜合題，用到了函數(shù)奇偶性，函數(shù)單調(diào)性的定義．恒成立問題中求字母的取值范圍問題往往通過分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想．