Question

給定矩陣A=

1 2 -1 4

，B=

5 3

．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂及對(duì)應(yīng)特征向量α₁，α₂；
（2）求A⁴B．

Answer 1

分析：（1）由題意已知矩陣A=

1 2 -1 4

，將其代入公式|λE-A|=0，即可求出特征值λ₁，λ₂，然后解方程求出對(duì)應(yīng)特征向量α₁，α₂；
（2）將矩陣B用征向量α₁，α₂，表示出來(lái)，然后再代入A⁴B進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）設(shè)A的一個(gè)特征值為λ，由題知

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=0     2′
（λ-2）（λ-3）=0
解得λ₁=2，λ₂=3                                                          4′
當(dāng)λ₁=2時(shí)，由

1 2 -1 4

x y

=2

x y

，得 A的屬于特征值2的特征向量α₁=

2 1

      6′
當(dāng)λ₁=3時(shí)，由

1 2 -1 4

x y

=3

x y

，得 A的屬于特征值3的特征向量α₂=

1 1

       8′
（2）由于B=

5 3

=2

2 1

+

1 1

=2α₁+α₂                                     12′
故A⁴B=A⁴（2α₁+α₂）
=2（2⁴α₁）+（3⁴α₂）                                                   14′
=32α₁+81α₂
=

64 32

+

81 81

=

145 113

                                                              16′．

點(diǎn)評(píng)：此部分是高中新增的內(nèi)容，但不是很難，套用公式即可解答，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．