Question

已知：經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)圓與y軸交于M、N兩點(diǎn)，C（-1，0），D（1，0）是x軸上兩點(diǎn)，直線MC與ND相交于P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）直線GH交軌跡E于G、H兩點(diǎn)，并且（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)O到直線GH的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用消參法來求軌跡方程，先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，M，N的坐標(biāo)，根據(jù)圓的對(duì)稱性，經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)圓圓心必在y軸上，可知MB⊥NB，在Rt△MNB中應(yīng)用勾股定理，求出M，N點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)M，N點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線MC與
ND方程，聯(lián)立，消去參數(shù)，即可得到點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）設(shè)出直線GH方程，代入（1）中所求雙曲線方程，化簡(jiǎn)，求x₁+x₂，x₁x₂，用含參數(shù)的式子表示，在根據(jù)，化簡(jiǎn)直線GH方程，再用點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)O到直線GH的距離．
解答：解：（1）設(shè)M（0，m），N（0，n），P（x，y）
則
兩式相乘得：y²=-nm（x²-1）
連MB、NB，則MB⊥NB，在Rt△MNB中
知|OB|²=|OM||ON|
∴mn=-2∴y²=2（x²-1）

故P的軌跡方程為
（2）當(dāng)直線GH與x軸垂直時(shí)，設(shè)G（x，y），則H（x，-y）
從而x²-y²=0
又∵∴O到直線GH的距離為．
當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m
代入并整理得：（2-k²）x²-2mkx-m²-2=0
設(shè)…（*）
∵x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
將（*）代入并整理和m²=2（1+k²）∴O到GH的距離
故O到GH的距離為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了消參法求軌跡方程，以及直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用．