Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）對于任意x都有f(x+2)=

2

f(x)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)f(x)=sin(

π

2

x)，則方程f(x)-

x

=0，x∈[0，8]的根的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．7

B．6

C．5

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件先求出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，8]上的解析式，然后再同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）、y=

x

的圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合函數(shù)的圖象即可得出二圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
即方程f（x）-

x

=0的根的個(gè)數(shù)．

解答：解：設(shè)x∈（2，4]時(shí)，（x-2）∈（0，2]，∴f（x）=

2

sin[

π

2

(x-2)]=-

2

sin(

π

2

x)；
同理x∈（4，6]，f（x）=2sin(

π

2

x)；x∈（6，8]，f（x）=-2

2

sin(

π

2

x)．
即f（x）=

sin( π 2 x)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí) - 2 sin( π 2 x)，當(dāng)x∈(2，4]時(shí) 2sin( π 2 x)，當(dāng)x∈(4，6]時(shí) -2 2 sin( π 2 x)，當(dāng)x∈(6，8]時(shí)

在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=f（x）、y=

x

的圖象，如圖所示．
①當(dāng)x≤x≤1時(shí)，∵f（0）=0=

0

，f(

1

2

)=

2

2

=

1 2

，f（1）=1=

1

，∴在區(qū)間[0，1]上有三個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)1＜x≤6時(shí)，由圖象可以看出函數(shù)y=f（x）與y=

x

的圖象無交點(diǎn)；
③當(dāng)6＜x＜8時(shí)，∵

7

＜f(7)=2

2

，由圖象和函數(shù)的單調(diào)性可得：在此區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)．
④當(dāng)x=8時(shí)，f（8）=0＜

8

，無交點(diǎn)．
綜上可知：在區(qū)間[0，8]內(nèi)，函數(shù)y=f（x）與y=

x

的交點(diǎn)共有5個(gè)，即方程f（x）-

x

=0在區(qū)間x∈[0，8]的根的個(gè)數(shù)為5．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：由已知條件正確求出函數(shù)y=f（x）的解析式并畫出函數(shù)y=f（x）、y=

x

的圖象是解題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)形結(jié)合思想方法是解此類題目常用的方法之一．