Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)都在圓x²+y²=1上，過右焦點(diǎn)作直線l（不與x軸垂直）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于P．
（1）求橢圓的方程；
（2）試探索

|AB|

|PF|

的直徑是否為定值，若是，求出該定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)都在圓x²+y²=1上，可得b=c=1，利用a²=b²+c²，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，，利用韋達(dá)定理確定M的坐標(biāo)，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，由此可得P的坐標(biāo)，計算|PF|、|AB|，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)都在圓x²+y²=1上，
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），則中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+2k2

∴中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

）
由點(diǎn)斜式可得線段AB的垂直平分線的方程為y+

k

1+2k2

=-

1

k

（x-

2k2

1+2k2

）
即-ky=x-

k2

1+2k2

令y=0，得x=

k2

1+2k2

，∴P的坐標(biāo)為（

k2

1+2k2

，0）
∴|PF|=1-

k2

1+2k2

=

k2+1

1+2k2

∵|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2 (k2+1)

1+2k2

∴

|AB|

|PF|

=2

2

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查弦長的計算，屬于中檔題．