Question

已知圓C過原點O，且與直線x+y=4相切于點A（2，2）．
（1）求圓C的方程；
（2）過原點O作射線交圓C于另一點M，交直線x=3于點N．
①OM•ON是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由；
②若射線OM上一點P（x，y）滿足OP²=OM•ON，求證：x³+xy²-6x-6y=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得到圓心即為線段OA的中點，求出線段OA中點坐標即為圓心，求出圓心到A的距離即為半徑r，寫出圓C方程即可；
（2）①設射線方程為y=kx，代入圓C方程，消去y得到關于x的一元二次方程，求出M的橫坐標，根據射線與x=3相交，得到M橫坐標與3同號，確定出k大于-1，利用兩點的距離公式表示出OM•ON，化簡后根據k的范圍確定出其值不存在最小值；
②由P坐標表示出OP，將OM•ON與OP的值代入OP²=OM•ON，再將k=代入化簡即可得證．
解答：解：（1）由題意得：圓心為OA的中點（1，1），半徑r==，
∴圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）①設射線所在直線方程為y=kx，
將它代入（x-1）²+（y-1）²=2得：（k²+1）x²-（2k+2）x=0，
∴x_M=，
∵射線y=kx與直線x=3相交，
∴x_M與3同號，
∴k＞-1，
∴OM•ON=•=•=3|2k+2|=6k+6，
∵k＞-1，
∴OM•ON無最小值；
②證明：∵OP²=OM•ON，
∴x²+y²=6k+6，
又y=kx，
∴k=代入上式得：x³+xy²-6x-6y=0．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，兩點間的距離公式，線段中點坐標公式，直線斜率，熟練掌握公式是解本題的關鍵．