Question

某人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是．棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋子向前跳一站；若擲出反面，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或第100站（失敗大本營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為P_n．
（Ⅰ）求：P，P_l，P₂；
（Ⅱ）求證：；（n≤99，n∈N）
（Ⅲ）求：玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）棋子在0站是一個(gè)必然事件，得到發(fā)生的概率等于1，擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳兩站，根據(jù)正方體各個(gè)面出現(xiàn)的概率得到結(jié)果．
（II）由題意知連續(xù)三項(xiàng)之間的關(guān)系，根據(jù)得到的關(guān)系式，仿寫(xiě)一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)式子相減，構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列是連續(xù)兩項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，得到等比數(shù)列．
（III）寫(xiě)出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中間項(xiàng)得到首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，得到玩該游戲獲勝的概率．
解答：解：（Ⅰ）依題意，得  P=1，，=
（Ⅱ） 依題意，棋子跳到第n站（2≤n≤99）有兩種可能：
第一種，棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為；
第二種，棋子先到第n-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為；
∴
∴
即
（Ⅲ） 由（II）可知，數(shù)列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首項(xiàng)為，
公比為的等比數(shù)列，
于是，有P₉₉=P+（P₁-P）+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P₉₉-P₉₈）=
因此，玩該游戲獲勝的概率為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的實(shí)際應(yīng)用，是一個(gè)中檔題目，題目涉及到概率的計(jì)算，本題解題的關(guān)鍵是看出題目中要利用累加的方法．