Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，且C的離心率e=

1

2

，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，射線MO交C于點(diǎn)N．
（Ⅰ）試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試證在（I）的條件下，橢圓C在點(diǎn)N處的切線與AB平行．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意可得橢圓的半焦距c=1，結(jié)合橢圓的離心率與橢圓中a、b與c的關(guān)系可得橢圓的方程．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），N（x₃，y₃），并且設(shè)橢圓在N出的切線斜率為K′，聯(lián)立直線與橢圓的方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得KAB=-

3x0

4y0

，因?yàn)橛深}意可得，N點(diǎn)在橢圓的下半部分，所以由

x2

4

+

y2

3

=1可得y=-

1

2

12-3x2

(y＜0)，利用導(dǎo)數(shù)求出在N點(diǎn)的切線的斜率k′=-

3x3

4y3

，由M、O、N三點(diǎn)共線，則有

x3

y3

=

x0

y0

，所以K_AB=K′，進(jìn)而即可證明結(jié)論正確．

解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
因?yàn)閽佄锞�y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
所以半焦距c=1．
又離心率e=

1

2

，
∴a=2，∴b²=a²-c²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），N（x₃，y₃），并且設(shè)橢圓在N出的切線斜率為K′，
則

x2 4 + y2 3 =1       (1) x 2 2 4 + y 2 2 3 =1       (2)

，
(1)-(2)整理得：

x1+x2

4

+

y1+y2

3

•

y1-y2

x1-x2

=0，
即有KAB=-

3x0

4y0

(由已知得y0≠0)．
因?yàn)橛深}意可得，N點(diǎn)在橢圓的下半部分，
所以由

x2

4

+

y2

3

=1可得y=-

1

2

12-3x2

(y＜0)
所以y′=- 

1

2

-6x

12-3x2

=-

3x

4y

，
所以k′=-

3x3

4y3

，
又因?yàn)镸、O、N三點(diǎn)共線，則有

x3

y3

=

x0

y0

，所以K_AB=K′，
即橢圓C在點(diǎn)N處的切線與AB平行．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓中相關(guān)數(shù)值的相互關(guān)系，以及當(dāng)橢圓與直線相交時(shí)的弦中點(diǎn)問(wèn)題，并且熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義．