Question

（本小題滿分15分）
若函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函數(shù)，且f(x)極小值＝f(－)＝－．
（1）求函數(shù)f(x)的解析式；
（2）求函數(shù)f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；
（3）設(shè)函數(shù)g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)2在(0，2k)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)＝－x3＋x
（2）f(x)max＝
（3）實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)]

解：（1）函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函數(shù)，則b＝d＝0，
∴f /(x)＝3ax2＋c，則
故f(x)＝－x3＋x；………………………………5分
（2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－)
∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函數(shù)，在[－，]上是減函數(shù)，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　
如圖所示，

當(dāng)－1＜m＜0時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝0；
當(dāng)0≤m＜時(shí)，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，
當(dāng)m≥時(shí)，f(x)max＝f()＝．
故f(x)max＝．………………10分
（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，
又令t＝xy，則0＜t≤k2，
故函數(shù)F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
     �。剑玿y－＝＋t＋2，t∈(0，k2]
當(dāng)1－4k2≤0時(shí)，F(xiàn)(x)無最小值，不合
當(dāng)1－4k2＞0時(shí)，F(xiàn)(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，
且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，
必須，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)]．………………15分