Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e²，其中b，c∈R為常數(shù)．
（I）若b²＞4c-1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）若b²≤4（c-1），且

lim

x→∞

f(x)-c

x

=4，試證：-6≤b≤2．

Answer 1

分析：（1）可用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求其單調(diào)性，注意到對(duì)題目中條件b²＞4c-1的運(yùn)用，即保證導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，再進(jìn)行計(jì)算．
（2）注意到f′（0）=c，則上述極限式變形為

lim

x→∞

f(x)-f(0)

x-0

=f′（0），再結(jié)合不等式求解．

解答：解：（I）求導(dǎo)得f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]e²
因b²＞4（c-1）．故方程f′（x）=0即x²+（b+2）x+b+c=0有兩根．
x1=-

b+2

2

-

b2-4(c-1)

2

＜x2=-

b+2

2

+

b2-4(c-1)

2

令f′（x）＞0．解得x＜x₁或x＞x₂
又令f′（x）＜0．解得x₁＜x＜x₂
故當(dāng)x∈（-∞，x₁）時(shí)，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，f（x）也是增函數(shù)；
但當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f（x）是減函數(shù)
（II）易知f（0）=c，f'（0）=b+c，因此

lim

x→∞

f(x)-c

x

=

lim

x→∞

f(x)-f(0)

x

=f′(0)=b+c
所以，由已知條件得

b+c=4 b2≤4(c-1)

，因此b²+4b-12≤0
解得-6≤b≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題中給定了不等式關(guān)系，減小了題目的難度，避免了對(duì)導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)和有幾個(gè)零點(diǎn)的討論，此外，對(duì)于導(dǎo)數(shù)定義的考查也在本題中體現(xiàn)出來(lái)．注意到其中代換的技巧c=f′（0）．