【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),證明:
【答案】(1)見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)首先對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)韋達(dá)定理與判別式確定二次函數(shù)根的分布,然后根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)首先求出,然后在對求出的表達(dá)式進(jìn)行切線縮放即可證明不等式.
(1)由題知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
有,
對有,
當(dāng)時,有,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,有兩個根,,設(shè),
根據(jù)韋達(dá)定理有,,
當(dāng)時,
有兩個正根,,
可知當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)時,
有兩個根,,
可知當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,
可知當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增;
(2)由(1)知當(dāng)時,函數(shù)有兩個極值點(diǎn),,設(shè),
根據(jù)(1)中單調(diào)性可知函數(shù)在處取極大值,處取極小值,
所以,
代入,,
整理得,
令,有,
有,
因?yàn)?/span>,
代入有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,若不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn),,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線上任意一點(diǎn)滿足,直線的方程為,且與曲線交于不同兩點(diǎn),.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線與的斜率分別為,,且,判斷直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,該幾何體是由一個直三棱柱ABE﹣DCF和一個四棱錐P﹣ABCD組合而成,其中EF=EA=EB=2,AE⊥EB,PA=PD,平面PAD∥平面EBCF.
(1)證明:平面PBC∥平面AEFD;
(2)求直線AP與平面PCD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】1772年德國的天文學(xué)家波得發(fā)現(xiàn)了求太陽的行星距離的法則,記地球距離太陽的平均距離為10,可以算得當(dāng)時已知的六大行星距離太陽的平均距離如下表:
星名 | 水星 | 金星 | 地球 | 火星 | 木星 | 土星 |
與太陽的距離 | 4 | 7 | 10 | 16 | 52 | 100 |
除水星外,其余各星與太陽的距離都滿足波得定則(某一數(shù)列規(guī)律),當(dāng)時德國數(shù)學(xué)家高斯根據(jù)此定則推算,火星和木星之間距離太陽28還有一顆大行星,1801年,意大利天文學(xué)家皮亞齊經(jīng)過觀測,果然找到了火星和木星之間距離太陽28的谷神星以及它所在的小行星帶,請你根據(jù)這個定則,估算從水星開始由近到遠(yuǎn)算,第10個行星與太陽的平均距離大約是( )
A.388B.772C.1540D.3076
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件,為激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動,這款軟件的激活碼為下列數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,再接下來的三項(xiàng)是,……,以此類推,求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,那么該軟件的激活碼是________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),是拋物線:的焦點(diǎn),是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過,,三點(diǎn)的圓的圓心為.
(1)是否存在過點(diǎn),斜率為的直線,使得拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由;
(2)是否存在點(diǎn),使得直線與拋物線相切于點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,,,點(diǎn)分別是和的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)設(shè),當(dāng)為何值時,平面,試證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),且,求直線的傾斜角.
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