Question

函數(shù)在（1，2）上存在單調(diào)遞增區(qū)間的充要條件是    ．

Answer 1

【答案】分析：先將函數(shù)在（1，2）上存在單調(diào)遞增區(qū)間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0在（1，2）上能成立問(wèn)題，再將導(dǎo)函數(shù)的分子看做新函數(shù)g（x），通過(guò)導(dǎo)數(shù)討論其圖象性質(zhì)即可得g（x）＞0在（1，2）上能成立時(shí)a的范圍
解答：解：=  （x＞0）
設(shè)g（x）=2x³+ax+1，則g′（x）=6x²+a
若a≥-6，則因?yàn)?x²＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＞0，從而f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上為增函數(shù)
若-24＜a＜-6，則由g′（x）=0，得x=±且2＞＞1
∴g（x）在（1，）上是減函數(shù)，在（，2）上為增函數(shù)
要使函數(shù)在（1，2）上存在單調(diào)遞增區(qū)間
只需g（x）＞0在（1，2）上能成立
只需g（1）=3+a＞0，或g（2）=17+2a＞0
即a＞-，此時(shí)-＜a＜-6
若a≤-24，則因?yàn)?4＞6x²＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＜0，從而f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上為減函數(shù)，不合題意
綜上所述，函數(shù)在（1，2）上存在單調(diào)遞增區(qū)間的充要條件是a∈（-，+∞）
故答案為a∈（-，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，不等式能成立問(wèn)題的解法，分類討論的思想方法和轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，確定討論標(biāo)準(zhǔn)并不重不漏是解決本題的關(guān)鍵