設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)當(dāng)a=0時,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)m=2時,若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點,求實數(shù) a的取值范圍;
(3)當(dāng)m=2時,如果函數(shù)g(x)=-f(x)-ax的圖象與x軸交于兩點A(x1,0)、B(x2,0)且0<x1<x2.求證:g′(px1+qx2)<0(其中正常數(shù)p,q滿足p+q=1,且q≥p).
分析:(1)由a=0,我們可以由f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,得到-mlnx≥-x,即 m≤
x
lnx
在(1,+∞)上恒成立,構(gòu)造函數(shù) φ=
x
lnx
,求出函數(shù)的最小值,即可得到實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)m=2時,我們易求出函數(shù)g(x)=f(x)-h(x)的解析式,由方程的根與對應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系,易轉(zhuǎn)化為x-2lnx=a,在[1,3]上恰有兩個相異實根,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)零點存在定理,構(gòu)造關(guān)于a的不等式組,解不等式組即可得到答案.
(3)由 g′(x)=
2
x
-2x-a
,又f(x)-ax=0有兩個實根x1,x2,知
2lnx1-x12-ax1=0
2lnx2-x22-ax2=0
兩式相減,得2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)=a(x1-x2)由此入手能夠證明:
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0
.從而可證g′(px1+qx2)<0.
解答:解:(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x,即 m≤
x
lnx

φ=
x
lnx
,則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于m≤φ(x)min
求得 φ′(x)=
lnx-1
ln2x

當(dāng)x∈(1,e)時;φ′(x)<0;當(dāng)x∈(e,+∞)時,φ′(x)>0
故φ(x)在x=e處取得極小值,也是最小值,
即φ(x)min=φ(e)=e,故m≤e.
(2)函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有兩個相異實根.
令g(x)=x-2lnx,則 g′(x)=1-
2
x

當(dāng)x∈[1,2)時,g′(x)<0,當(dāng)x∈(2,3]時,g′(x)>0
g(x)在[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù),在(2,3]上是單調(diào)遞增函數(shù).
故g(x)min=g(2)=2-2ln2
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),
∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3〕
(3)∵g′(x)=
2
x
-2x-a
,又f(x)-ax=0有兩個實根x1,x2
2lnx1-x12-ax1=0
2lnx2-x22-ax2=0
兩式相減,得2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)=a(x1-x2
a=
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
-(x1+x2),(x1>0,x2>0)

于是 g/(px1+qx2)=
2
px1+qx2
-2(px1+qx2)-
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
+(x1+x2)

=
2
px1+qx2
-
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
+(2p-1)(x2-x1)

∵q>p,∴2q≥1,∵2p≤1,∴(2p-1)(x2-x1)<0.
要證:g′(px1+qx2)<0,只需證:
2
px1+qx2
-
2(lnx1-lnx2)
x2-x1
<0

只需證:
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0
.(*)
x1
x2
=t∈(0,1)
,∴(*)化為
1-t
pt+1
+lnt<0

只證 u(t)=lnt+
1-t
pt+q
<0
即可.u/(t)=
1
t
+
-(pt+q)-(1-t)•p
(pt+q)2
=
1
t
-
1
(pt+q)2
=
(pt+q)2-t
t(pt+q)2

=
p2(t-1)(t-
q2
p2
)
t(pt+q)2
,
q2
p2
>1,0<t<1
,
∴t-1<0.∴u′(t)>0,∴u(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴u(t)<u(1)=0
∴u(t)<0,∴lnt+
1-t
pt+q
<0

即:
x2-x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0
.∴g′(px1+qx2)<0.
點評:本題以函數(shù)為載體,考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點,具有一定的難度,解題時要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.其中(1)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題,(2)的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性后,進而構(gòu)造關(guān)于a的不等式組.
練習(xí)冊系列答案
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1x+1
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設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實數(shù)m的值;
(2)當(dāng)m=2時,若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個不同的實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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(2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:不等式ln
n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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