在數(shù)列{an}中,a1=5,an+1=3an-4n+2,其中n∈N*
(1)設(shè)bn=an-2n,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,試比較Sn與n2+2011n的大。

解:(1)由an+1=3an-4n+2得an+1-2(n+1)=3(an-2n),
又a1-2=1≠0,an-2n≠0,得,
所以,數(shù)列{an-2n}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,
所以,bn=3n
(2)an-2n=3n?an=2n+3n,,
設(shè)cn=3n-1340n-1,
由于cn+1-cn=2•3n-1340
當(dāng)n<6時,cn+1<cn
當(dāng)n≥6時,cn+1>cn
即,當(dāng)n<6時,數(shù)列{cn}是遞減數(shù)列,當(dāng)n≥6時,數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列
又c1=-4018<0,c8=-4160<0,c9=7622>0
所以,當(dāng)n≤8時,Sn<n2+2011n;
所以,當(dāng)n>8時,Sn>n2+2011n.
分析:對于(1)需要對數(shù)列遞推式an+1=3an-4n+2進行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為等差或者等比數(shù)列的形式進行解答,針對bn=an-2n的形式設(shè)計,可以兩邊減去2n,于是湊出形式an-2n,即:an+1-2(n+1)=3(an-2n),于是得到一個等比數(shù)列{an-2n},很好的完成了轉(zhuǎn)化.
(2)的解答需要利用(1)的結(jié)論,求出數(shù)列{an}的通項公式,進一步求出其前n項的和,再利用作差的思想Sn-(n2+2011n)化成函數(shù)(自變量是正整數(shù)n)的問題進行討論即可.
點評:本題很好的考查了數(shù)列的知識,有深度,一定的綜合度,對數(shù)列的遞推公式考查既基本又有一定的難度,技巧,符合數(shù)列知識的教學(xué)目標,總之本題綜合考查等差等比數(shù)列的內(nèi)容及其轉(zhuǎn)化問題,同時又綜合考查了函數(shù)的知識,分類討論的思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,
a
 
1
=1
,an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a=
12
,前n項和Sn=n2an,求an+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)

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在數(shù)列{an}中,a,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn,證明:

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