考點:數列與不等式的綜合,數列的求和
專題:等差數列與等比數列
分析:(1)由已知條件推導出a
1=4,a
n=S
n-S
n-1=
a
n-
an-1+1,由此能證明數列{a
n-1}是以a
1-1=3為首項,公比為3的等比數列,從而能求出
an=3n+1.
(2)由c
n=n+
log(a1-1)+
log(a
2-1)+…+
log(a
n-1)=n(n+2),從而
=
=
(
-
),由此利用裂項求和法結合已知條件能求出m的最大值.
解答:
(1)證明:當n=1時,S
1=a
1=
a
1+1-3,解得a
1=4,
當n≥2時,由S
n=
a
n+n-3,得S
n-1=
a
n-1+n-4.
兩式相減,得a
n=S
n-S
n-1=
a
n-
an-1+1,
即a
n=3a
n-1-2,則a
n-1=3(a
n-1-1),
故數列{a
n-1}是以a
1-1=3為首項,公比為3的等比數列.
∴a
n-1=3
n,
∴
an=3n+1.
(2)解:c
n=n+
log(a1-1)+
log(a
2-1)+…+
log(a
n-1)
=n+2+4+…+2n
=n+n(n+1)
=n(n+2),
∴
=
=
(
-
),
∴不等式
+
+…+
=
(1-+-+-+…+-)=
(1+
-
-)
=
-
,
∵不等式
+
+…+
≥
對任意n∈N
*都成立,
∴
-
≥
,
∴l(xiāng)og
2m≤9-
<9,
∴m<2
9=512,
∵m∈N
*,∴m的最大值為511.
點評:本題考查等比數列的證明,考查數列的通項公式的求法,考查實數的最大值的求法,解題時要認真審題,注意裂項求和法的合理運用.