Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且 a_n+1 =2a_n +2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+1 =2a_n +2ⁿ⁺¹（n∈N^*）兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1 =2a_n +2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴a_n=n•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．