Question

已知P為雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為該雙曲線的左、右焦點，若∠F1PF2=

π

3

，則△F₁PF₂的面積為

16

3

．

Answer 1

分析：由P為雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上一點，∠F1PF2=

π

3

，利用雙曲線第一定義和余弦定理列出方程組，求出|PF₁|•|PF₂|=64，由此能夠求出△F₁PF₂的面積．

解答：解：∵P為雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上一點，∠F1PF2=

π

3

，
∴

||PF1|-|PF2||=6 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos60°=100

，
∴

|PF1|2-2|PF1|•|PF2|+|PF2|2=36 |PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=100

，
解得|PF₁|•|PF₂|=64，
∴△F₁PF₂的面積S=

1

2

×|PF₁|•|PF₂|×sin60°=

1

2

×64×

3

2

=16

3

．
故答案為：16

3

．

點評：本題考查三角形的面積的求法，具本涉及到橢圓的簡單性質，余弦定理，正弦定理，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．