已知數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項(xiàng)和且Sn+1=4an+1(n∈N*),設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}是一個(gè)等差數(shù)列.

分析:本題涉及到兩個(gè)數(shù)列{an}、{bn},而數(shù)列{bn}是依附于{an}而派生出來的,因而首先要由已知Sn+1=4an+1導(dǎo)出{an}的遞推關(guān)系式,進(jìn)而由an與bn的關(guān)系得出{bn}的遞推公式,然后運(yùn)用遞推公式法證明{bn}是等差數(shù)列.

證明:∵Sn+1=4an+1,                                ①

∴Sn+2=4an+1+1.                                   ②

②-①得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an.

    而Sn+2-Sn+1=an+2,

∴an+2=4an+1-4an.

    由bn=得an=2nbn,

∴2n+2bn+2=4·2n+1bn+1-4·2nbn,

    即有bn+2-bn+1=bn+1-bn.

    因此數(shù)列{bn}是一個(gè)等差數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn與
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案