Question

已知f（x）=ax³-x²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在[0，3]上是減函數(shù)，且方程f（x）=0有三個實根．
（1）求b的值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)，在[0，3]上是減函數(shù)，可知當x=0時，f′（x）取得極小值，從而可求b的值；
（2）方程f（x）=0有三個實根，∴極大值大于0極小值小于0，即

f(0)=c＞0 f( 2 3a )=- 4 27a2 +c＜0

，從而可解．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²-2x+b，函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)，在[0，3]上是減函數(shù)．
∴當x=0時，f′（x）取得極小值．∴f′（0）=0．∴b=0
（2）∵方程f（x）=0有三個實根，∴a≠0
∴f′（x）=3ax²-2x+b=0的兩根分別為0，

2

3a

．
∴f′（x）＞0在（-∞，0）時恒成立，f′（x）≤0在[0，3]時恒成立
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知a＞0，

2

3a

≥3，∴0＜a≤

2

9

∵方程f（x）=0有三個實根，∴極大值大于0極小值小于0，即

f(0)=c＞0 f( 2 3a )=- 4 27a2 +c＜0

∴當0＜c≤

3

時，0＜a≤

2

9

；   當c＞

3

時，0＜a≤

2 3 c

9c

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力．