Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=8，a_n+2=4a_n+1-4a_n（n∈N^*）。
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式。

Answer 1

解：（Ⅰ）由等式a_n+2=4a_n+1-4a_n，
變形得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵a₂-2a₁=4≠0，
從而a_n+1-2a_n≠0，
∴數(shù)列｛a_n+1-2a_n｝是以2為公比，以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列。
（Ⅱ）∵a_n+1-2a_n=4·2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴，且，
∴數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴=1+(n-1)×1=n，
∴a_n=n·2ⁿ，（n∈N^*） 。