Question

已知函數(shù)f(x)=

1

(1+x)n

+aln(x+1)，其中n∈N*，a為常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，若b₁，b₂，…，b_k均非負(fù)數(shù)，且b₁+b₂+…+b_k=1，求證：f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，
當(dāng)n=2時(shí)，f(x)=

1

(1+x)2

+aln(x+1)，
所以f′(x)=

a(1+x)2-2

(1+x)3

.
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x1=-1+

2 a

＞-1，x2=-1-

2 a

＜-1，
此時(shí)f′（x）=

a(x-x1)(x-x2)

(x+1)3

．
當(dāng)x∈（1，x₁）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₁+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值．
綜上所述，n=2時(shí)，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=-1+

2 a

處取得極小值，極小值為f(-1+

2 a

)=

a

2

(1+ln

2

a

).
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值．
（Ⅱ）先證明當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤x+1，只要設(shè)g(x)=x+1-f(x)，則g′(x)=1+

n

(x+1)n+1

-

1

x+1

=

x

x+1

+

n

(x+1)n+1

＞0(x≥0)，
∴g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)，
∴g（x）≥g（0）=0，得證；
而b₁，b₂，…，b_k均非負(fù)數(shù)，且b₁+b₂+…+b_k=1，所以f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．