Question

11．已知函數(shù)f（x）=xlnk-klnx的圖象不經(jīng)過第四象限，則實(shí)數(shù)k=e．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=xlnk-klnx的圖象不經(jīng)過第四象限，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性．確定k的范圍，

解答 解：∵函數(shù)f（x）=xlnk-klnx，k＞0，x＞0
∴f′（x）=lnk-$\frac{k}{x}$=0，可得x=$\frac{k}{lnk}$，∵x＞0，∴k＞1
當(dāng)x∈（0，$\frac{k}{lnk}$）時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)x∈（$\frac{k}{lnk}$，+∞）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，
x=$\frac{k}{lnk}$，函數(shù)取得極小值．
∵函數(shù)f（x）=xlnk-klnx的圖象不經(jīng)過第四象限，
∴x＞0，f_min（x）≥0，
∴k-kln$\frac{k}{lnk}$≥0，
∴1≥ln$\frac{k}{lnk}$，
∴e≥$\frac{k}{lnk}$（k＞1），可得elnk-k≥0恒成立，
令h（x）=elnx-x，可得h′（x）=$\frac{e}{x}-1$=0解得x=e，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)x＞e時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，x=e函數(shù)h（x）取得極大值，h（e）=0．
∴k=e，
故答案為：e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的求解函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．