Question

設(shè)p>0是一常數(shù)，過點(diǎn)Q(2p，0)的直線與拋物線y²=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）．試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由題意，直線AB不能是水平線， 故可設(shè)直線方程為：ky=x-2p． 又設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則其坐標(biāo)滿足 消去x得  y2-2pky-4p2=0 由此得 因此=xAxB+yAyB=0，即OA^OB． 故O必在圓H的圓周上． 又由題意圓心H(xH，yH)是AB的中點(diǎn)，故 由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且 ． 從而當(dāng)k=0時(shí)，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小． 此時(shí)，直線AB的方程為：x=2p． 解法二：由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：ky=x-2p 又設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則其坐標(biāo)滿足 分別消去x，y得 故得A、B所在圓的方程 x2+y2-2p(k2+2)x-2pky=0． 明顯地，O(0，0)滿足上面方程， 故A、B、O三點(diǎn)均在上面方程所表示的圓上． 又知A、B中點(diǎn)H的坐標(biāo)為， 故． 而前面圓的方程可表示為 [x-(2+k2)p]2+(y-pk)2=(2+k2)2p2+k2p2， 故為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點(diǎn)O(0，0)． 又R2==(k4+5k2+4)p2， 故當(dāng)k=0時(shí)，R2最小，從而圓的面積最小，此時(shí)直線AB的方程為：x=2p． 解法三：同解法一得O必要圓H的圓周上 又直徑             上式當(dāng)xA=xB時(shí)，等號(hào)成立，直徑最小，從而圓面積最小． 此時(shí)直線AB的方程為x=2p．