Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{{{a_n}^2}}+2}$=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和記為S_n，若有S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立，則正整數(shù)t的最小值為17．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式得到{$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求出a_n²=$\frac{1}{n}$，利用作差法證得數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，求出其最大項(xiàng)后代入S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$，則正整數(shù)t的最小值可求．

解答 解：由，$\sqrt{\frac{1}{{{a_n}^2}}+2}$=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+n-1=n，
∴a_n²=$\frac{1}{n}$．
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+3}$＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項(xiàng)為
S₃-S₁=a₂²+a₃²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$．
∵S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$對(duì)任意n∈N^*恒成立，
∴$\frac{5}{6}$≤$\frac{t}{20}$，即t≥$\frac{50}{3}$，
即t的最小值為17
故答案為：17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的通項(xiàng)公式和單調(diào)性的靈活運(yùn)用．