Question

設(shè)r，s，t為整數(shù)，集合{a|a=2^r+2^s+2^t，0≤t＜s＜r}中的數(shù)由小到大組成數(shù)列{a_n}．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)；
（2）求a₃₆．

Answer 1

分析：（1）由于r，s，t為整數(shù)，且0≤t＜s＜r，下面對(duì)r進(jìn)行分類討論：r最小取2時(shí)，符合條件的數(shù)a有一個(gè)，當(dāng)r=3時(shí)，符合條件有的數(shù)a有3個(gè)，由此求得數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)．
（2）同理可得r=4時(shí)，r=6時(shí)，r=7時(shí)，分別算出符合條件的數(shù)a的個(gè)數(shù)，最后利用加法原理計(jì)算即得．

解答：解：（1）∵r、s、t為整數(shù)且0≤t＜s＜r，∴r最小取2，此時(shí)符合條件的數(shù)a有

C

2 2

=1；…（4分）
當(dāng)r=3時(shí)，s，t 可在0，1，2中取，符合條件有的數(shù)a有

C

2 3

=3；…（5分）
故數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)為：2⁰+2¹+2²=7，2⁰+2¹+2³=11，2⁰+2²+2³=13．
（2）同理，r=4時(shí)，符合條件有的數(shù)a有

C

2 4

=6；…（6分）
r=5時(shí)，符合條件有的數(shù)a有

C

2 5

=10；…（7分）
r=6時(shí)，符合條件有的數(shù)a有

C

2 6

=15；…（8分）
r=7時(shí)，符合條件有的數(shù)a有

C

2 7

=21；…（9分）
因此，a₃₆是r=7中的最小值，即 a₃₆=2⁰+2¹+2⁷=131．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及數(shù)列的通項(xiàng)公式等基本概念，既要會(huì)合理分類，又要會(huì)合理分步，一般是先分類，后分步．