Question

已知函數(shù)y=log

1

2

（x+8

a

x

）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)t=x+

8a

x

在在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，且滿足1+

8a

1

＞0，即 a＞-

1

8

．再分當(dāng)-

1

8

＜a＜0時、當(dāng)a=0時、當(dāng)a＞0時三種情況，分別求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：∵函數(shù)y=log

1

2

（x+8

a

x

）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)t=x+

8a

x

 在在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
且滿足1+

8a

1

＞0，即 a＞-

1

8

．
當(dāng)-

1

8

＜a＜0時，顯然滿足函數(shù)t=x+

8a

x

在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a=0時，顯然滿足函數(shù)t=x在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，由于函數(shù)t=x+

8a

x

在區(qū)間[

8a

，+∞）上單調(diào)遞增，且函數(shù)t=x+

8a

x

在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故有

8a

≤1，解得0＜a≤

1

8

．
綜上可得，a的范圍為（-

1

8

，

1

8

]．

點評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．