Question

設是公比大于1的等比數列，S_n為數列的前n項和．已知S₃=7,且a₁+3,3a₂,a₃+4構成等差數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）設數列的公比為，
由已知，得 ，  ……………………………………2分
即， 也即
解得    ……………………………………………………5分
故數列的通項為．     ……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ∴，……8分
又，
∴是以為首項，以為公差的等差數列  ………10分
∴
即．

分析：（1）由{an}是公比大于1的等比數列，S=7，且a+3，3a，a+4構成等差數列，我們不難構造方程組，解方程組即可求出相關基本量，進而給出數列{an}的通項公式．
（2）由b=lna，n=1，2，…，我們易給出數列{b}的通項公式，分析后可得：數列{b}是一個等差數列，代入等差數列前n項和公式即可求出T
解答：解：（1）由已知得：
解得a=2．
設數列{a}的公比為q，由a=2，
可得a=，a=2q．
又S=7，可知+2+2q=7，
即2q-5q+2=0，
解得q=2，q=
由題意得q＞1，
∴q=2
∴a=1．故數列{an}的通項為a=2．
（2）由于b=lna，n=1，2，
由（1）得a=2
∴b=ln2=3nln2又b-b=3ln2
∴{b}是等差數列．
∴T=b+b++b
=
=
=ln2．
故T=ln2．
點評：解答特殊數列（等差數列與等比數列）的問題時，根據已知條件構造關于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據定義確定數列的通項公式及前n項和公式，然后代入進行運算．