Question

18．已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-3，3]．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=m，求證：$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件，轉化不等式為絕對值不等式，求m的值，分類討論，即可解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）直接利用柯西不等式，即可證明結論．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x+2）=m-|x|，f（x+2）≥0等價于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|-m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集為[-3，3]，故m=3．
所以f（x）+f（x+2）＞0可化為：3-|x-2|+3-|x|＞0，∴|x|+|x+2|＜6．
①當x≤-2時，-x-x-2＜6，∴x＞-4，又x≤-2，∴-4＜x≤-2；
②當-2＜x≤0時，-x+x+2＜6，∴2＜6，成立；
③當x＞0時，x+x+2＜6，∴x＜2，又x＞0，∴0＜x＜2．
綜上①、②、③得不等式f（x）+f（x+2）＞0的解集為：{x|-4＜x＜2}…（5分）
（Ⅱ）證明：a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=3，
因為（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$）（a+b+c）≥（b+c+a）²，所以$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，柯西不等式求解表達式的最值，考查轉化思想與計算能力．