Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有兩點(diǎn)P和Q．P、Q在X軸上射影分別是橢圓的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂且P、Q連線(xiàn)斜率為

2

2

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若以PQ為直徑的圓與直線(xiàn)x+y+6=0相切，求橢圓C方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用P、Q在x軸上的射影分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率為

2

2

．即可求橢圓的離心率e的大��；
（2）先求出以PQ為直徑的圓的方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求出b值即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)（-c，-y₀），Q（c，y₀），其中y₀＞0，
∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴

c2

a2

+

y02

b2

=1，y02=

b4

a2

，∴y0=±

b2

a

∴P(-c，-

b2

a

)，Q(c，

b2

a

)，∴kPQ=

2 b2 a

2c

=

b2

ac

．∴

b2

ac

=

2

2

，

2

(a2-c2)=ac
從而

2

(1-e2)=e，解得e=

2

2

，e=-

2

（舍去）．
（2）由（1）知，a=

2

b，c=b，∴P(-b，-

b

2

)
∴以PQ為直徑的圓的方程為x2+y2=

3

2

b2．
∵該圓與直線(xiàn)x+y+6=0相切，∴

6

2

=

6

2

b，即b=2

3

，∴b²=12，a²=24
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

24

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，主要考查是圓與橢圓知識(shí)的綜合．當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，可以利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求解，也可以把直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立讓對(duì)應(yīng)方程的判別式為0求解．