Question

求證：2ln（1+x）≤x²+2x．

Answer 1

證：由題意，設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2x-2ln（1+x），函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）
又f′（x）=2x+2-==
令f′（x）＞0解得x＞0或x＜-2
令f′（x）＜0解得-2＜x＜0
又函數(shù)f（x）=x²+2x-2ln（1+x）的定義域是（-1，+∞），
所以函數(shù)f（x）區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)
f（x）≥f（0）=0，
即有2ln（1+x）≤x²+2x
分析：由題意，證明2ln（1+x）≤x²+2x恒成立，可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+2x-2ln（1+x），將證明不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）≥0恒成立的問題，可利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定出函數(shù)f（x）=x²+2x-2ln（1+x）的最小值，若最小值大于等于0，則可得2ln（1+x）≤x²+2x成立
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用，本題是一個證明題，將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解是證明與變量有關(guān)的不等式的常用方法，解題的關(guān)鍵是將不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，本題考查了函數(shù)思想轉(zhuǎn)化思想，用函數(shù)法證明不等式，其難點是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，本題技巧性強，考查了觀察能力及轉(zhuǎn)化化歸的能力