Question

函數(shù)f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間和對稱中心．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）化簡可得解析式f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），再求BC=4．可得周期為8，即可求ω=

π

4

，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得f（x）的單調遞增區(qū)間，由

π

4

x+

π

3

=kπ，k∈Z，得對稱中心．

解答： 解：（1）f（x）=3cosωx+

3

sinωx----------------------------------------------（2分）
f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

）------------------------------------------------------（3分）
又△ABC為正三角形，且高為2

3

，則BC=4．所以函數(shù)F（X）的最小正周期為8，即

2π

ω

=8，ω=

π

4

--------------（5分）
f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

）．------------------------------------------------------（6分）
（2）由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得8k-

10

3

≤x≤8k+

2

3

，k∈Z．…（8分）
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為[8k-

10

3

，8k+

2

3

]，k∈Z---------------------（9分）
由  

π

4

x+

π

3

=kπ，k∈Z，得x=4k-

4

3

，k∈Z--------------------（11分）
所以對稱中心為（4k-

4

3

，0）k∈Z---------------------------------------（12分）

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的圖象與性質，屬于基本知識的考查．