Question

正方形ABCD的兩對(duì)角線AC與BD交于O，沿對(duì)角線BD折起，使∠AOC=90°對(duì)于下列結(jié)論：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB與CD成60°角；④AB與平面BCD成60°角，其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

分析：由正方體的幾何特征，可得BD⊥平面AOC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可判斷①的真假；由三余弦定理，求出∠ADC的余弦值，我們可以確定∠ADC的大小，進(jìn)而判斷出△ADC的形狀，判斷出②③的真假，根據(jù)線面夾角的定理，我們易得∠ABO即為AB與平面BCD成角，求出∠ABO的大小，可以判斷④的真假，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：由正方形的幾何特征可得：
BD⊥OC，BD⊥OA，得BD⊥平面AOC，
故BD⊥AC，故①正確；
cos∠ADC=cos45°•cos45°=

1

2

，
∴∠ADC=60°，AD=DC，
△ADC是正三角形，故②正確；
由②中結(jié)論可得，AB與CD成60°角，故③正確；
而AB與平面BCD成角∠ABO=45°，故④錯(cuò)誤
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角，三角形形狀的判斷，異面直線的夾角，其中熟練掌握空間中直線與平面夾角及平行、垂直關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)和幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．