Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，對任意n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）．
（1）求常數(shù)p的值；  
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）記b_n=S_n+λa_n，（n∈N*）若數(shù)列{b_n}從第二項起每一項都比它的前一項大，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1及把n=1代入到遞推公式中2S_n=2pa_n²+pa_n-p可求p
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1，可得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2），兩式相減整理可得 （a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0
結(jié)合已知數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)可得，an-an-1=

1

2

，由等差數(shù)列的通項公式可求
（3）由題意可得數(shù)列{b_n}是遞增即b_n+1＞b_n對n∈N^*恒成立，由（2）可得Sn=

n(n+3)

4

，bn+1-bn=

(n+1)(n+4)

4

+λ

n+2

2

-(

n(n+3)

4

+λ

n+1

2

)＞0恒成立，化簡成λ＞-（n+2）恒成立，從而可求

解答：解：（1）由a₁=1及2S_n=2pa_n²+pa_n-p（n∈N^*），得：2=2p+p-p∴p=1…（4分）
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1①
得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2，n∈N^*） ②
由①-②得   2a_n=2（a_n²-a_n-1²）+（a_n-a_n-1）
即：2（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-（a_n+a_n-1）=0∴（a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0
由于數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，
∴2a_n-2a_n-1=1即  an-an-1=

1

2

（n≥2，n∈N^*）…（6分）
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列，∴數(shù)列{a_n}的通項公式是   an=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

…（9分）
（3）由題意，數(shù)列{b_n}是遞增的，b_n+1＞b_n，即b_n+1＞b_n對n∈N^*恒成立，
由（2）可得Sn=

n(n+3)

4

，bn+1-bn=

(n+1)(n+4)

4

+λ

n+2

2

-(

n(n+3)

4

+λ

n+1

2

)＞0恒成立，
∴λ＞-（n+2）恒成立，
∴λ＞-3．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解數(shù)列的通項公式，要注意對n=1的檢驗，及利用遞推公式構(gòu)造特殊（等差）數(shù)列求通項公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（最小）項的問題的考查是本題的一個難點．