Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=n （3-b_n），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

（1）因?yàn)閚=1時(shí)，a₁+S₁=a₁+a₁=2，所以a₁=1．
因?yàn)镾_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，所以a_n+1+S_n+1=2．
兩式相減：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0，即a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n．
因?yàn)閍_n≠0，所以

an+1

an

=

1

2

（ n∈N^*）．
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，a_n=(

1

2

)n-1（ n∈N^*）．
（2）因?yàn)閎_n+1=b_n+a_n（ n=1，2，3，…），所以b_n+1-b_n=(

1

2

)n-1．從而有b₂-b₁=1，b₃-b₂=

1

2

，b₄-b₃=(

1

2

)2，…，b_n-b_n-1=(

1

2

)n-2（ n=2，3，…）．
將這n-1個(gè)等式相加，得b_n-b₁=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=2-2(

1

2

)n-1．
又因?yàn)閎₁=1，所以b_n=3-2(

1

2

)n-1（ n=1，2，3，…）．
（3）因?yàn)閏_n=n （3-b_n）=2n(

1

2

)n-1，
所以T_n=2[(

1

2

)0+2(

1

2

)+3(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-2+n(

1

2

)n-1]．   ①

1

2

Tn=2[(

1

2

)1+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n]．       ②
①-②，得

1

2

Tn=2[(

1

2

)0+(

1

2

)+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-2n(

1

2

)n．
故T_n=4

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-4n(

1

2

)n=8-

8

2n

-4n(

1

2

)n=8-(8+4n)

1

2n

（ n=1，2，3，…）．