Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸為短軸的

3

倍，直線y=x與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)，

OA

•

OC

=

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上兩點(diǎn)E、F使

OE

+

OF

=λ

OA

，λ∈（0，2），求△OEF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知a=

3

b，C（a，0），設(shè)A（t，t），把A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求得t，進(jìn)而表示出

OA

和

OC

進(jìn)而根據(jù)，

OA

•

OC

=

3

2

求得a和b，橢圓方程可得．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），EF中點(diǎn)為M（x₀，y₀），根據(jù)

OE

+

OF

=λ

OA

的方程組，把E，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相減可得

x12-x22

3

+y₁²-y₂²=0，進(jìn)而可得直線EF的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線EF的方程，代入橢圓方程消去x，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求出
y₁+y₂和y₁y₂進(jìn)而表示出|EF|，同時(shí)表示出原點(diǎn)到直線EF的距離，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式，表示出三角形OEF的面積，根據(jù)λ的范圍求得△OEF面積的最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，a=

3

b，C（a，0），
設(shè)A（t，t），則t＞0，

t2

a2

+

t2

b2

=1．
解得t²=

a2b2

a2+b2

=

3

4

b²，即t=

3

2

b，
∴

OA

=（

3

2

b，

3

2

b），

OC

=（a，0），

OA

•

OC

=

3

2

ab=

3

b²=

3

2

，
∴b=1，a=

3

，
∴橢圓方程為

x2

3

+y²=1．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），EF中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
∵

OE

+

OF

=λ

OA

，
∴

2x0=x1+x2= 3 2 λ 2y0=y1+y2 = 3 2 λ

∵E、F在橢圓上，則

x12 3 + y12 =1① x22 3 +y22=1②

由①-②得

x12-x22

3

+y₁²-y₂²=0，
∴k_EF=

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

×

x1+x2

y1+y2

=-

1

3

，
∴直線EF的方程為y-

3

4

λ=-

1

3

（x-

3

4

λ），
即x=-3y+

3

λ，代入

x2

3

+y²=1，
整理得4y²-2

3

λy+λ²-1=0，
∴y₁+y₂=

3

2

λ，y₁y₂=

λ2-1

4

，
∴|EF|=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

10

|y₁-y₂|
=

10

•

3λ2-4(λ2-1)

2

=

10

•

4-λ2

2

，
又∵原點(diǎn)O（0，0）到直線EF的距離為h=

3 λ

10

，
∴S_△OEF=

1

2

|EF|h=

3λ 4-λ2

4

=

3

4

λ2(4-λ2)

≤

3

4

×

λ2+4-λ2

2

=

3

2

，
當(dāng)λ=

2

時(shí)等號(hào)成立，所以△OEF面積的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．是高考中�？嫉念}型，應(yīng)注意總結(jié)規(guī)律．