Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，f（x）=-f（-x），且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有．
（1）證明函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（2）若f（x-1）＜f（2x），求x的取值范圍．
（3）附加題（5分）：若f（x）≤-2am+2，對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：任取-1≤x₁＜x₂≤1，

∵＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)
（2）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，f（x-1）＜f（2x），
∴，
整理，得
∴x的取值范圍是：{x|}．
（3）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f_max（x）=f（1）=1，
∵要使f（x）≤-2am+2，對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只需-2am+2≥1，
即2am-1≤0，
設(shè)g（a）=2ma-1，
∴，即，
解得．
分析：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，，由此能夠證明f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，f（x-1）＜f（2x），知，由此能求出x的取值范圍．
（3）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，知f_max（x）=f（1）=1，要使f（x）≤-2am+2，對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需2am-1≤0，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是要使f（x）≤-2am+2，對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需-2am+2≥1，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．