Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a²x+b（a，b∈R）在x=2處的切線方程為y=9x-14．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令函數(shù)g（x）=x²-2x+k
①若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）能成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
②設(shè)函數(shù)y=g（x）的圖象與直線x=2交于點(diǎn)P，試問：過點(diǎn)P是否可作曲線y=f（x）的三條切線？若可以，求出k的取值范圍；若不可以，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=2處的切線方程為y=9x-14，從線的斜率和點(diǎn)在線上兩個(gè)方面來列出方程組，解方程組得到結(jié)果．
（2）①對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性做出函數(shù)f（x）_max和g（x）_min的值，根據(jù)存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立 所以有f（x）_max≥g（x）_min，解出要求的結(jié)果．
②設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則有y₀=x₀³-3x₀+2，又切線的斜率為3x₀²-3，寫出切線的方程，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，得到結(jié)果

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3a²由f（x）在x=2處的切線方程為y=9x-14
所以

f′(2)=9 f(2)=4

即

12-3a2=9 8-6a2+b=4

得

a2=1 b=2

故f（x）=x³-3x+2．
（2）①令f′（x）=0即3x²-3=0得x=±1
所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，有f′（x）＜0，此時(shí)f（x）遞減
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）遞增
又因?yàn)閒（0）=2，f（2）=4，有f（0）＜f（2）
所以f（x）_max=f（2）=4又知g（x）_min=g（1）=1-2+k=k-1
因?yàn)榇嬖趚₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立 所以有f（x）_max≥g（x）_min
得：4≥k-1即k≤5
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，5]．
②由題意知P（2，k）
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則有y₀=x₀³-3x₀+2又切線的斜率為3x₀²-3
所以其切線方程為：y-（x₀³-3x₀+2）=（3x₀²-3）（x-x₀）
因?yàn)榍芯�過點(diǎn)P，故有k-（x₀³-3x₀+2）=（3x₀²-3）（2-x₀）
即k=-2x₀³+6x₀²-4因?yàn)檫^點(diǎn)P可以作曲線f（x）的三條切線
所以方程k=-2x₀³+6x₀²-4有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
令h（x）=-2x³+6x²-4
則由h′（x）=-6x²+12x=0得x=0，x=2
當(dāng)x∈（-∞，0），（2，+∞）時(shí)，有h′（x）＜0，此時(shí)h（x）遞減
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，有h′（x）＞0，此時(shí)h（x）遞增
所以h（x）_極大=h（2）=4，h（x）_極小=h（0）=-4
所以-4＜k＜4
故k的取值范圍是（-4，4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最之中的應(yīng)用，考查切線與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．