Question

（2012•綿陽二模）已知函數(shù)f（x）=3^x-1的反函數(shù)為f^-1（x），且f^-1（17）=a+2
（1）求a的值；
（2）若f^-1（a_n-1）=log₃n，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，若不等式λa_n≤2ⁿ•S_n對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由y=3^x-1＞-1，可求反函數(shù)，代入f^-1（17）=a+2，可求a
（Ⅱ）由f^-1（a_n-1）=log₃n，可求a_n=n，由等差數(shù)列的求和公式可求Sn=

n(n+1)

2

，要使λan-2n•Sn≤0對任意n∈N*恒成立，則λ≤2^n-1•（n+1）對任意n∈N*恒成立，利用數(shù)列的單調(diào)性可求b_n的最大值，可求

解答：解：（Ⅰ）令y=3^x-1＞-1，則x=log₃（y+1），
∴f^-1（x）=log₃（x+1），x＞-1．
∵f^-1（17）=a+2，即log₃18=a+2，
解得 a=log₃2．  （6分）
（Ⅱ）∵f^-1（a_n-1）=log₃n，
∴l(xiāng)og₃a_n=log₃n，即a_n=n．
則數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

n(n+1)

2

，
要使λan-2n•Sn≤0對任意n∈N^*恒成立，
即使λ≤2^n-1•（n+1）對任意n∈N^*恒成立．
又數(shù)列bn=2n-1(n+1)為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴b_n的最小值為b₁=2，
∴λ≤2，即λ的最大值為2． （12分）

點評：本題主要考查了以反函數(shù)的求解為載體，考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，數(shù)列單調(diào)性在求解數(shù)列的最值中的應(yīng)用，函數(shù)恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化